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Medium 9788521623083

Capítulo 8 - A Geometria dos Espaços Vetoriais

LAY, David C. Grupo Gen PDF

8

A Geometria dos

Espaços Vetoriais

EXEMPLO INTRODUTÓRIO

Os Sólidos Platônicos

O filósofo grego Platão fundou, na cidade de Atenas em 387 a.C., uma Academia considerada, algumas vezes, como a primeira universidade do mundo. Apesar de o currículo incluir astronomia, biologia, teoria política e filosofia, o assunto que mais agradava

Platão era geometria. De fato, inscrito em cima da porta de sua academia estavam as palavras: “Não permito que ninguém que desconheça geometria entre pela minha porta.”

Os gregos ficavam muito impressionados por padrões geométricos, como os sólidos regulares. Um poliedro é dito regular se suas faces forem polígonos regulares congruentes e todos os ângulos nos vértices forem iguais. Cerca de 150 anos antes de Euclides, os seguidores de Pitágoras já conheciam pelo menos três sólidos regulares: o tetraedro (4 faces triangulares), o cubo (6 faces quadradas) e o octaedro (8 faces triangulares).

(Veja a Figura 1.) Essas formas ocorrem naturalmente em cristais comuns. Existem apenas cinco sólidos regulares, os dois restantes sendo o dodecaedro (12 faces pentagonais) e o icosaedro (20 faces triangulares).

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Medium 9788521628323

Capítulo 8 - Métodos Numéricos

BOYCE, William E.; DiPRIMA, Richard C. Grupo Gen PDF

CAPÍTULO

8

Métodos Numéricos

Até agora, discutimos métodos para resolver equações diferenciais usando técnicas analíticas como integração ou expansão em séries. Em geral, a ênfase era em encontrar uma expressão exata para a solução. Infelizmente, existem muitos problemas importantes em engenharia e ciência, especialmente problemas não lineares, nos quais esses métodos, ou não se aplicam, ou seu uso é muito complicado.

Neste capítulo, vamos usar uma abordagem alternativa, a utilização de métodos numéricos aproximados para obtermos uma aproximação precisa da solução de um problema de valor inicial. Vamos apresentar esses métodos no contexto o mais simples possível, ou seja, uma única equação escalar de primeira ordem. No entanto, eles podem ser facilmente estendidos para sistemas de equações de primeira ordem, e isso está esquematizado rapidamente na Seção 8.5. Os procedimentos aqui descritos podem ser executados, facilmente, em computadores pessoais.

8.1 O Método de Euler ou Método da Reta Tangente

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Medium 9788521606321

9 - Funções Quadráticas, Expressões e Equações

McCALLUM, William G.; CONNALLY, Eric; HUGHES-HALLETT, Deborah et al. Grupo Gen PDF

Capítulo 9 Sumário

Funções Quadráticas,

Expressões e Equações

9.1 Funções Quadráticas 224

Interpretação de Funções Quadráticas Expressas na

Forma-Padrão 224

Interpretação de Funções Quadráticas Expressas na

Forma Fatorada 225

Interpretação de Funções Quadráticas Expressas na

Forma de Vértice 227

9.2 Como Trabalhar com Expressões

Quadráticas 230

Construção de Expressões Quadráticas 230

Conversão de Expressões Quadráticas para as

Formas-Padrão e Fatorada 232

Conversão à Forma-Padrão 232

Conversão à Forma Fatorada 232

Como Colocar uma Expressão na Forma de

Vértice? 233

Um Método Alternativo para Completar os

Quadrados 234

Visualização para Completar os Quadrados 236

9.3 Resolução de Equações Quadráticas

Completando os Quadrados 238

O Método Geral 239

A Fórmula de Bhaskara 240

O Discriminante 242

9.4 Resolução de Equações Quadráticas por

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Medium 9788577804825

7. Curvas Paramétricas

Santos, Fabiano José dos Grupo A - Bookman PDF

7 Curvas

Paramétricas

7.1 Curvas paramétricas

Até aqui abordamos as curvas planas como lugares geométricos de pontos que satisfazem uma equação cartesiana da forma F (x, y) = 0 ou uma equação polar da forma F (r, ␪) = 0. Em muitos problemas aplicados, uma curva plana

é a trajetória de um ponto móvel. Em tais situações é mais conveniente descrever a curva por meio de equações paramétricas.

Definição 6 (Curva paramétrica) Uma curva paramétrica no plano é um par de funções:

Na Definição 6, a abscissa x e a ordenada y de cada ponto da curva são dadas em função da variável real t, denominada parâmetro, que varia de um valor inicial ti a um valor final tf, isto é, sobre um intervalo real ti ≤ t ≤ tf, que pode se estender para todos os números reais, isto é, −ϱ < t < ϱ.

Se o parâmetro t representa o tempo, então as equações paramétricas da curva nos dão a localização de um ponto móvel em cada instante, e a curva é a própria trajetória do ponto móvel. Também é importante ressaltar que as equações paramétricas de uma curva lhe conferem uma orientação de

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Medium 9788577805013

APÊNDICE A

Knight, Randall Grupo A - Bookman PDF
Medium 9788502169425

7. UNidades de Medida

Senise Lisboa, Roberto Editora Saraiva PDF

Cap. 7 – Unidades de Medida

7.

NI D A D E S DE M E D ID A

Por longo tempo, cada povo teve o seu próprio sistema de medidas, baseado em unidades arbitrárias e imprecisas como, por exemplo, aquelas baseadas no corpo humano: palmo, pé, polegada, braça, côvado.

Hoje, o sistema métrico decimal uniformiza as unidades de diversas grandezas a serem medidas.

Para medidas de comprimento, área, volume e massa o Sistema

Métrico Decimal utiliza, respectivamente, o metro, metro quadrado, metro cúbico, o quilograma e seus múltiplos e submúltiplos.

7.1. UNIDADES

DE COMPRIMENTO

O metro é utilizado para medir comprimento, área e volume. As grandezas de área e volume são chamadas de grandezas derivadas, pois utilizam a unidade base (metro) para defini-las através de uma potência (metros quadrados e metros cúbicos).

7.1.1.

últiplos�e�submúltiplos�do�metro

Observe a tabela a seguir com os múltiplos e submúltiplos do metro. Cada unidade de comprimento é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

Assim, se a transformação de unidade “andar” da esquerda para a direita na tabela abaixo, aumenta-se o valor numérico. Se a transformação for da direita para a esquerda, diminui-se o valor numérico.

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Medium 9788521632535

Capítulo 6 - Estatística Descritiva

MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C. Grupo Gen PDF

6

Estatística Descritiva

Sumário do Capítulo

6-1

6-2

6-3

6-4

Resumos Numéricos de Dados

Diagramas de Ramo e Folhas

Distribuições de Frequências e Histogramas

Diagramas de Caixa

Estatística é a ciência de dados. Um aspecto importante de lidar com dados é organizar e resumi-los em maneiras que facilitem sua interpretação e análise subsequente. Esse aspecto da estatística é chamado de estatística descritiva e é o assunto deste capítulo. Por exemplo, no

Capítulo 1, apresentamos oito observações feitas sobre a força de remoção de conectores em protótipos de motores de automóveis. As observações (em libras) foram 12,6; 12,9; 13,4; 12,3; 13,6; 13,5; 12,6 e 13,1.

Existe, obviamente, variabilidade nos valores da força de remoção.

Como deveríamos resumir as informações desses dados? Essa é uma

6-5

6-6

6-7

Diagramas Sequenciais Temporais

Diagramas de Dispersão

Gráficos de Probabilidade

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Medium 9788521633693

6 - Senoides na Engenharia

RATTAN, Kuldip S.; KLINGBEIL, Nathan W. Grupo Gen PDF

Senoides na

Engenharia

CAPÍTULO

6

Uma senoide é um sinal que descreve um suave movimento repetitivo de um objeto que oscila a uma taxa (frequência) constante em relação a um ponto de equilíbrio. A senoide tem a forma de uma função seno (sen) ou cosseno (cos) (discutidas no Capítulo 3), e encontra aplicações em todos os ramos da engenharia. Essas funções são os sinais mais importantes, pois qualquer outro tipo de sinal pode ser construído com sinais nas formas de seno e de cosseno. Entre exemplos de senoides estão o movimento de um robô plano de um membro que gira a uma taxa constante, a oscilação de um sistema mola-massa não amortecido, e a forma de onda de tensão de uma fonte de potência elétrica. Por exemplo, a frequência da forma de onda de tensão associada à potência elétrica no Brasil é de 60 ciclos por segundo (Hz); em diversas outras partes do mundo, esta frequência é de 50 Hz. Neste capítulo, usaremos o exemplo do robô plano de um membro que gira a uma taxa constante para desenvolver a forma genérica de senoides e explicar os conceitos de amplitude, frequência (linear e angular), ângulo de fase e deslocamento de fase (defasagem).

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Medium 9788521633853

3 - Funções e Seus Gráficos

YOUNG, Cynthia Y. Grupo Gen PDF

3

Funções e Seus

Gráficos

John Giustina/Superstock

E

m uma arara de roupas de uma loja de departamentos, você vê uma camisa que lhe agrada. O preço original da camisa era de US$ 100, mas ela estava com um desconto de 30%. Como um cliente preferencial, você obtém um desconto adicional de 20% sobre o preço de venda no ato da compra. Quanto você vai pagar pela camisa?

Compradores ingênuos poderiam se iludir ao pensar que essa camisa vai custar US$ 50, pois eles somam 20% e 30% para obter um desconto de 50%, mas acabarão pagando mais do que isso. Compradores experientes sabem que primeiro precisam calcular o desconto de 30% de US$ 100, que resulta em um preço de US$ 70, e depois aplicar um desconto adicional de 20% sobre o preço de venda de US$ 70, resultando em um preço final (com desconto) de US$ 56. Compradores experientes já aprenderam a composição de funções.

Uma composição de funções pode ser pensada como uma função de uma função. Uma função recebe uma entrada (preço original, US$ 100) e a mapeia em uma saída (preço de venda, US$ 70), e depois outra função pega essa saída como sua entrada (preço de venda, US$ 70) e a mapeia em uma saída (preço de caixa, US$ 56).

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Medium 9788521606321

16 - Matrizes e Vetores

McCALLUM, William G.; CONNALLY, Eric; HUGHES-HALLETT, Deborah et al. Grupo Gen PDF

Capítulo 16 Sumário

Matrizes e Vetores

16.1 Matrizes 405

Notação para Matrizes 405

Operações Algébricas com Matrizes 405

Propriedades da Multiplicação por Escalar e da Soma de Matrizes 406

16.2 Multiplicação de Matrizes 408

Como Encontrar o Custo Total 408

Formação de uma Matriz Nova Através da Combinação de

Linhas e Colunas 409

O Significado da Multiplicação de Matrizes 409

Visão Geral da Multiplicação de Matrizes 409

Propriedades da Multiplicação de Matrizes 411

A Multiplicação de Matrizes Não É Comutativa 411

16.3 Matrizes e Vetores 412

Pares Ordenados 412

Vetores em Física e Geometria 413

Soma de Vetores 413

Multiplicação por Escalares 413

Propriedades das Operações com Vetores 413

Multiplicação de Matrizes por Vetores 414

Significado da Multiplicação de Matrizes por Vetores 415

Vetores de Dimensões Mais Altas 416

Uma Aplicação de Matrizes e Vetores à Economia 417

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Medium 9788502169425

4. Porcentagem e Juros

Senise Lisboa, Roberto Editora Saraiva PDF

Cap.

4.

P O R C ENTA GE M E

– porCentageM e

Uros

RO S

4.1. PORCENTAGEM

Porcentagem é a centésima parte de um inteiro. Assim, assumindo-se 1 como o inteiro, 10% será 0,10. Ou seja, dez centésimos do inteiro 1.

Desta forma, quando se quer encontrar, por exemplo, 12% de um número qualquer, basta multiplicar este número por 0,12 (andam-se duas casas para a esquerda com a vírgula).

Veja mais alguns exemplos:

• 1% → multiplica-se por 0,01;

• 5% → multiplica-se por 0,05;

• 10% → multiplica-se por 0,10;

• 74% → multiplica-se por 0,74;

• 85,7% → multiplica-se por 0,857

Agora, quando se deseja saber um determinado valor, acrescido de

57%, basta multiplicar o valor por 1,57. Pois, tem-se o valor original que representa 100%, mais a porcentagem que se queira acrescer, no caso,

57% (1 ϩ 0,57 ϭ 1,57). Analogamente ao exemplo anterior tem-se:

• 1% → multiplica-se por 1,01;

• 5% → multiplica-se por 1,05;

• 10% → multiplica-se por 1,10;

• 74% → multiplica-se por 1,74;

• 85,7% → multiplica-se por 1,857

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Medium 9788521627593

CAPÍTULO 3 - O Limite de uma Função de Variável Real

SILVA, Paulo Sergio Dias da Grupo Gen PDF

Capítulo

3

O Limite de uma Função de Variável Real

Neste capítulo, empregamos o conceito de limite de uma sequência de números reais, estudado no Capítulo 2, para analisar o significado do limite de uma função real de variável real em um ponto de seu domínio. Como sequências de números reais são funções cujo domínio é o conjunto , o limite de uma função de variável real é uma extensão daquele conceito, e, assim, não deve ser uma surpresa que muitos dos resultados válidos para o limite de uma função de variável real decorram de um correspondente sobre sequências reais.

Por essa razão, a compreensão do conceito de limite de uma sequência de números reais dá ao estudante de cálculo um entendimento mais claro da definição do limite de uma função real, além de uma habilidade maior que aquela obtida somente com a resolução de listas de exercícios. Por exemplo, no estudo do limite de uma função real de variável real, é comum, em dado momento, o professor ilustrar a situação com um exemplo

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Medium 9788577809264

40 seções cônicas

Safier, Fred Grupo A - Bookman PDF

Capítulo 40

Seções Cônicas

DEFINIÇÃO DE SEÇÕES CÔNICAS

As curvas que resultam da interseção de um plano com um cone são chamadas de seções cônicas. A Fig 40-1 mostra as quatro possibilidades mais importantes: círculo, elipse, parábola e hipérbole.

Círculo

Elipse

Parábola

Hipérbole

Figura 40-1

Casos degenerados aparecem em situações excepcionais; por exemplo, se o plano na primeira figura que intercepta o cone em um círculo fosse abaixado até que passasse somente através do vértice do cone, o círculo “degeneraria” para um ponto. Outros casos degenerados são duas retas se interceptando, duas retas paralelas, uma reta ou nenhum gráfico.

CLASSIFICAÇÃO DE EQUAÇÕES DE SEGUNDO GRAU

O gráfico de uma equação do segundo grau com duas variáveis Ax2 ϩ Bxy ϩ Cy2 ϩ Dx ϩ Ey ϩ F ϭ 0 é uma seção cônica. Ignorando os casos degenerados, as possibilidades são as seguintes:

A. Se nenhum termo xy está presente (B ϭ 0):

1.

2.

3.

4.

Se A ϭ C o gráfico é um círculo. Caso contrário A

Se AC ϭ 0 o gráfico é uma parábola.

Se AC Ͼ 0 o gráfico é uma elipse.

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Medium 9788521631880

Respostas dos Exercícios Selecionados

HOLT, Jeffrey Grupo Gen PDF

|RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS SELECIONADOS|

Capítulo 1

63. 298 adultos e 87 crianças.

Seção 1.1

1. Só o ponto (−3, −3) pertence à reta.

3. Só o ponto (−2, 5) pertence às duas retas.

5. Nenhum dos pontos satisfaz o sistema linear.

7. Só (b), (c) e (d) são soluções do sistema linear.

69. A altura pode ser coberta com 11 moedas de R$ 1,00 e a largura pode ser coberta com 6 moedas de R$ 1,00 e 2 moedas de R$ 0,25.

Segundo essas medidas, o diâmetro da moeda de R$ 1,00 é de 2,7 cm e o da moeda de R$ 0,25 é de 2,4 cm.

9. x1 = 3, x2 = −1.

15. Em forma escalonada; variáveis líderes: x1 e x2; não tem variáveis livres.

Seção 1.2

17. Em forma escalonada; variáveis líderes: x1 e x3; variável livre: x2.

19. Não está em forma escalonada.

21. Em forma escalonada; variáveis líderes: x1 e x3; variáveis livres: x2 e x4.

5. Está em forma escalonada.

7. Não está em forma escalonada.

9. Está em forma escalonada.

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Medium 9788521632924

Capítulo 7 | Distribuições Amostrais

GUPTA, C. Bhisham; GUTTMAN, Irwin Grupo Gen PDF

7

Distribuições Amostrais

O foco deste capítulo é a discussão de distribuições amostrais de funções de variáveis aleatórias

TÓPICOS ABORDADOS

Conceitos básicos de amostragem tanto de população finita quanto infinita

Distribuições da média amostral e da proporção amostral

Um teorema fundamental de probabilidade, conhecido como “Teorema Limite Central”

Distribuições relacionadas à distribuição normal — especificamente, a distribuição qui-quadrado, a t de Student, e a F de Snedecor —, que são muito úteis na estatística aplicada

• Distribuições de várias estatísticas de ordem e suas aplicações

• Uso de diferentes pacotes estatísticos — especificamente, MINITAB, Microsoft Excel e JMP

OBJETIVOS DA APRENDIZAGEM

Depois de estudar este capítulo, o leitor deve ser capaz de

• Compreender os conceitos básicos de distribuições amostrais.

• Compreender o Teorema Limite Central e saber quando aplicá-lo.

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