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Medium 9788521625469

7 - Aplicações de Espaços Vetoriais Reais (Opcional)

KOLMAN, Bernard; HILL, David Ross Grupo Gen PDF

CAPÍTULO

7

APLICAÇÕES DE ESPAÇOS

VETORIAIS REAIS

(OPCIONAL)

7.1 FATORAÇÃO QR

Pré-requisito. Seção 6.8, Bases Ortonormais em Rn.

Na Seção 1.8, discutimos sobre a fatoração LU de uma matriz e mostramos como ela conduz a um método muito eficiente para a resolução de um sistema linear. Discutimos agora outro tipo de fatoração de uma matriz A, chamada fatoração QR de A. Esse tipo de fatoração

é muito utilizado em programas de computador para encontrar os autovalores de uma matriz (Capítulo 8), para resolver sistemas lineares e para encontrar as aproximações por mínimos quadrados (veja Seção 7.2 para ler a respeito de mínimos quadrados).

TEOREMA 7.1

Se A é uma matriz m ϫ n com colunas linearmente independentes, então A pode ser fatorada como A ϭ QR, onde Q é uma matriz m ϫ n cujas colunas formam uma base ortonormal para o espaço coluna de A e R é uma matriz n ϫ n triangular superior invertível.

Demonstração

Representamos por u1, u2, …, un as colunas linearmente independentes de A que formam uma base para o espaço coluna de A. Utilizando o processo de Gram–Schmidt (veja Teorema 6.18 da Seção 6.8), podemos obter uma base ortonormal w1, w2, …, wn para o espaço coluna de A. Lembre-se de como esta base ortonormal foi obtida. Primeiro, construímos uma base ortogonal v1, v2, …, vn como a seguir: v1 ϭ u1 e, então, para i ϭ 2, 3, …, n temos

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Medium 9788536322483

2. Água e Gelo

Damodaran, Srinivasan Grupo A - Artmed PDF

Água e Gelo

2

David S. Reid e Owen R. Fennema

CONTEÚDO

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

2.10

Introdução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Propriedades físicas da água e do gelo . . . . . . .

A molécula de água . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Associação das moléculas de água . . . . . . . . . .

Dissociação de moléculas de água . . . . . . . . . .

Estruturas em sistemas de água pura . . . . . . . .

2.6.1 A estrutura do gelo . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6.2 A estrutura da água (líquida). . . . . . . . . .

Relação de fases da água pura . . . . . . . . . . . . .

Água na presença de solutos. . . . . . . . . . . . . . .

2.8.1 Gelo na presença de solutos . . . . . . . . . .

2.8.2 Interações água-soluto em soluções aquosas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.8.2.1 Nível macroscópico . . . . . . . . . .

2.8.2.2 Nível molecular: generalidades . .

2.8.2.3 Nível molecular: “água ligada” . .

2.8.2.4 Interações da água com íons e grupos iônicos . . . . . . . . . . . . . .

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Medium 9788521632924

Capítulo 11 | Controle Estatístico da Qualidade — Gráficos de Controle da Fase I

GUPTA, C. Bhisham; GUTTMAN, Irwin Grupo Gen PDF

11

Controle Estatístico da Qualidade

— Gráficos de Controle da Fase I

O foco deste capítulo é uma discussão dos gráficos de controle da fase I para variáveis, atributos, e aprendizagem sobre capacidade do processo.

TÓPICOS ABORDADOS

• Algumas ferramentas valiosas para se alcançar a qualidade, como gráfico de Pareto, diagrama de causa e efeito e diagrama de concentração de defeito

• Gráfico de controle de Shewhart X–e R

• Gráfico de controle de Shewhart X e R quando a média do processo m e o desvio-padrão do processo s são conhecidos

• Gráfico de controle de Shewhart X e S

• Gráfico de controle de Shewhart para observações individuais

• Gráfico de controle de Shewhart quando o tamanho amostral é variável

• Gráfico p com tamanho amostral constante

• Gráfico p com tamanho amostral variável

• Gráfico np

• Gráfico c

• Gráfico u

• Capacidade do processo

OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM

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Medium 9788521622024

CAPÍTULO 8 - Intervalos de Confiança com Base em uma Única Amostra

KOKOSKA, Stephen Grupo Gen PDF

8

Intervalos de Confiança com Base em uma

Única Amostra

Desafio do Capítulo 8

Um vagão típico de trem, carregado com carvão, está sobrecarregado?

(Kenneth Sponster/iStock photo)

SUMÁRIO

8.1 Estimação Pontual

O carvão ainda é a principal fonte de energia nos

Estados Unidos e é usado para gerar energia em muitas usinas elétricas. Essa fonte de energia não renovável é, em geral, extraída de uma de duas maneiras: mineração subterrânea (se o carvão estiver a, pelo menos, 200 pés de profundidade) ou mineração de superfície (a céu aberto). Nova tecnologia de mineração, que melhorou a segurança, inclui robôs, lasers, computadores e sofisticados filtros de ar.

Uma vez extraído de uma mina, o carvão é quebrado em pedaços e transportado por esteiras para caminhões de caçamba ou vagões de trem de minério. Um basculador é usado para encher cada carro por gravidade e, depois que cada um está cheio, é pesado usando-se uma balança computadorizada. O peso do carro vazio, ou o peso de tara, é subtraído para se obter o peso exato do carvão em cada carro.

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Medium 9788521632146

Apêndice B: Curvas Paramétricas

AXLER, Sheldon Grupo Gen PDF

Apêndice B: Curvas Paramétricas

Curvas no Plano das Coordenadas

Curvas paramétricas podem ser usadas para descrever a trajetória de um ponto movendo-se no plano das coordenadas. Curvas paramétricas dão uma nova visão para muitos dos tópicos discutidos previamente, incluindo as funções cosseno e seno, os gráficos de funções inversas e os gráficos que se originam de transformações de funções. Uma definição mais formal de curva paramétrica será dada em breve, mas começaremos por analisar um exemplo.

Suponha que um ponto movendo–se no plano das coordenadas tenha coordenadas

EXEMPLO 1

(cos t, sen t) no instante t segundos, para t no intervalo [0, 2π].

(a) Quais são as coordenadas do ponto no instante t = 0 segundo?

(b) Quais são as coordenadas do ponto no instante t = 3 segundos?

(c) Quais são as coordenadas do ponto no instante t = 2π segundos?

(d) Descreva a trajetória seguida pelo ponto no intervalo de tempo [0, 2π] segundos.

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Medium 9788577809264

36 determinantes e regra de cramer

Safier, Fred Grupo A - Bookman PDF

Capítulo 36

Determinantes e Regra de Cramer

NOTAÇÃO PARA O DETERMINANTE DE UMA MATRIZ

Associado a toda matriz quadrada A existe um número chamado determinante da matriz, denotado por det A ou ԽAԽ.

Para uma matriz A ϭ [a11]1 ϫ 1, o determinante é escrito ԽAԽ e seu valor é definido como ԽAԽ ϭ a11 (Nota: as barras verticais não denotam valor absoluto).

O DETERMINANTE DE UMA MATRIZ 2 ؋ 2

Seja

. Então, o determinante de A é escrito:

seu valor é definido como

O determinante de uma matriz n ϫ n é chamado de um determinante n ϫ n.

Exemplo 36.1

DETERMINANTES REDUZIDOS E COFATORES

Para qualquer matriz n ϫ n (aij) com n Ͼ 1, definimos o seguinte:

1. O determinante reduzido Mij do elemento aij é o determinante da matriz (n Ϫ 1) ϫ (n Ϫ1) obtida excluindo a linha i e coluna j de (aij).

2. O cofator Aij do elemento aij é Aij ϭ (Ϫ1)i ϩ jMij. Um cofator é algumas vezes chamado de determinante reduzido com sinal.

Exemplo 36.2

Encontre M12 e A12 para a matriz

Exclua a linha 1 e a coluna 2 para obter

:

Então, M12 ϭ 3 e A12 ϭ (Ϫ1)1 ϩ2 M12 ϭ (Ϫ1)3(3) ϭ Ϫ3

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Medium 9788521606321

16 - Matrizes e Vetores

McCALLUM, William G.; CONNALLY, Eric; HUGHES-HALLETT, Deborah et al. Grupo Gen PDF

Capítulo 16 Sumário

Matrizes e Vetores

16.1 Matrizes 405

Notação para Matrizes 405

Operações Algébricas com Matrizes 405

Propriedades da Multiplicação por Escalar e da Soma de Matrizes 406

16.2 Multiplicação de Matrizes 408

Como Encontrar o Custo Total 408

Formação de uma Matriz Nova Através da Combinação de

Linhas e Colunas 409

O Significado da Multiplicação de Matrizes 409

Visão Geral da Multiplicação de Matrizes 409

Propriedades da Multiplicação de Matrizes 411

A Multiplicação de Matrizes Não É Comutativa 411

16.3 Matrizes e Vetores 412

Pares Ordenados 412

Vetores em Física e Geometria 413

Soma de Vetores 413

Multiplicação por Escalares 413

Propriedades das Operações com Vetores 413

Multiplicação de Matrizes por Vetores 414

Significado da Multiplicação de Matrizes por Vetores 415

Vetores de Dimensões Mais Altas 416

Uma Aplicação de Matrizes e Vetores à Economia 417

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Medium 9788521627258

CAPÍTULO 20 Comparação de Duas Proporções

BALDI, Brigitte; MOORE, David S. Grupo Gen PDF

C. Goldsmith/CDC

CAPÍTULO 20

Comparação de

Duas Proporções

NESTE CAPÍTULO

ABORDAMOS...

Em um problema de duas amostras, queremos comparar duas populações ou as respostas a dois tratamentos com base em duas amostras independentes.

Quando a comparação envolve as médias de duas populações, usamos os métodos t de duas amostras do Capítulo 18. Voltamo-nos, agora, para métodos de comparação de proporções de sucessos em duas populações.

• Problemas de duas amostras: proporções

Problemas de duas amostras: proporções

• Intervalos de confiança precisos para comparação de proporções

Usaremos uma notação semelhante àquela usada em nosso estudo de estatísticas t de duas amostras. Os grupos que desejamos comparar são a População 1 e a População 2. Temos uma AAS diferente de cada população ou respostas a dois tratamentos em um experimento comparativo aleatorizado.

Um subscrito indica o grupo que o parâmetro ou a estatística descreve. Eis a nossa notação:

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Medium 9788577801831

9 Equações Diferenciais Homogêneas Lineares de Segunda Ordem com Coefi cientes Constantes

Bronson, Richard Grupo A - Bookman PDF

98

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Obtém-se de maneira análoga as equações características de equações diferenciais em outras variáveis depenj dentes que não y substituindo a j-ésima derivada da variável dependente por λ (j = 0, 1, 2).

(9.3)

A SOLUÇÃO GERAL

A solução geral de (9.1) é obtida diretamente a partir das raízes de (9.3). Existem três casos a serem considerados.

Caso 1

1

e

2

são ambas reais e distintas.

eλ1x e eλ 2 x são duas soluções linearmente independentes, e a

solução geral é (Teorema 8.2)

(9.4)

Para o caso especial λ2 = – λ1, a solução (9.4) pode ser reescrita como y = k1 cosh λ1x + k2 senh λ1x.

Como a1 e a0 em (9.1) e (9.2) são assumidas reais, as raízes de

1 = a + ib, um número complexo.

(a + ib)x

(a – ib)x

(9.2) devem aparecer em pares conjugados; assim, a outra raiz é λ2 = a – ib. e ee são duas soluções linearmente independentes, e a solução geral complexa é

Caso 2

(9.5)

que é algebricamente equivalente a (ver Problema 9.16)

(9.6)

Caso 3

1

=

2

.

eλ1x e xeλ1x são duas soluções linearmente independentes, e a solução geral é

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Medium 9788521627982

Capítulo 1 - Operando com Números Reais

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz Grupo Gen PDF

CAPÍTULO 1

OPERANDO

COM

NÚMEROS REAIS

OPERANDO COM NÚMEROS REAIS

1.1 NÚMEROS REAIS

Os números com os quais estaremos trabalhando o tempo todo são os números reais. Dentre eles destacamos os números inteiros

…Ϫ3, Ϫ2, Ϫ1, 0, 1, 2, 3… em que 1, 2, 3, … são os inteiros positivos e …Ϫ3, Ϫ2, Ϫ1, os inteiros negativos. Na prática, os números reais são sempre representados na forma decimal, por exemplo: 2,3 (dois inteiros e três décimos); 0,001 (um milésimo); 0,33333… (dízima periódica com período 3, o que significa que o 3 se repete indefinidamente);

54,0035353535… (dízima periódica com período 35). O resultado da divisão de um número inteiro por outro inteiro ou é uma decimal exata, ou seja, uma decimal com um número finito de casas decimais, ou é uma dízima periódica. Por exemplo,

5

ϭ 1,25 é uma decimal exata;

4

2

ϭ 0, 66666º é uma dízima periódica com período 6.

3

As decimais exatas e as dízimas periódicas são denominadas números racionais. Número irracional é o número real que não é decimal exata e nem dízima periódica. Desta forma, um número real ou é racional ou é irracional. Os números 2 ϭ 1, 41421356º , ␲ ϭ 3,141592653…, e ϭ 2,718281828… são exemplos de números irracionais.

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Medium 9788521620723

3 Limite e continuidade

ÁVILA, Geraldo Severo de Souza; ARAÚJO, Luís Cláudio Lopes de Grupo Gen PDF

“Calculo1” — 2012/5/8 — 9:25 — page 90 — #90

Cap´ıtulo 3

Neste cap´ıtulo introduziremos a no¸c˜ao de fun¸c˜ao cont´ınua e uma importante propriedade dessas fun¸c˜oes. Para isso necessitaremos do conceito de limite, que foi introduzido de maneira apenas intuitiva na defini¸c˜ao da derivada. Continuaremos com essa abordagem intuitiva, que ´e suficiente para nossos prop´ositos, mesmo porque o tratamento rigoroso desses t´opicos ´e objeto dos cursos de An´alise, e n˜ao tem como ser feito de maneira proveitosa sem o embasamento de uma teoria rigorosa dos n´umeros reais.

3.1

Para bem entender o conceito de continuidade, o melhor ´e come¸car analisando um exemplo de fun¸c˜ao que apresenta “descontinuidade”. E uma ocorrˆencia bem simples dessa situa¸c˜ao ´e ilustrada pela fun¸c˜ao f (x) = |x|/x. Lembrando o significado do m´odulo (definido na p. 331, confira lembrete na margem), vemos que

Lembre-se de que

| |=

,

− ,

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Medium 9788577801831

15 Matrizes

Bronson, Richard Grupo A - Bookman PDF

Capítulo 15

Matrizes

MATRIZES E VETORES

Uma matriz (designada por uma letra maiúscula em negrito) consiste em um conjunto retangular de elementos dispostos em linhas horizontais e colunas verticais. Neste livro, os elementos das matrizes sempre serão números ou funções da variável t. Se todos os elementos forem números, então a matriz será denominada uma matriz constante.

As matrizes se mostrarão úteis em muitas situações. Por exemplo, podemos expressar equações diferenciais de ordem elevada em um sistema de equações diferenciais de primeira ordem utilizando matrizes (ver Capítulo 17).

A notação de matriz também permite uma forma compacta de apresentar as soluções de equações diferenciais (ver

Capítulo 16).

Exemplo 15.1

são todas matrizes. Em particular, a primeira matriz é uma matriz constante, enquanto as duas últimas não.

Uma matriz geral A com p linhas e n colunas é dada por

onde aij representa o elemento que aparece na i-ésima linha e j-ésima coluna. Uma matriz é quadrada se possui o mesmo número de linhas e colunas.

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Medium 9788521627272

2 Funções regulares e suas propriedades

BOURCHTEIN, Lioudmila; BOURCHTEIN, Andrei Grupo Gen PDF

Bourchtein — Prova  — // — Maluhy&Co. — página (local )

Funções regulares e suas propriedades

2.1 Funções diferenciáveis e regulares

Definição 1. Seja f (z) definida em uma vizinhança do ponto z0 . A função f (z) é chamada diferenciável no ponto z0 se existe o limite finito f (z0 + ∆z) − f (z0 )

= f ′ (z0 )

∆z→0

∆z lim

(2.1)

chamado de derivada da função f (z) no ponto z0 .

Observação 1. Como foi mencionado no item 1.4 do Capítulo 1, o limite da função complexa possui todas as propriedades do limite da função real. Por isso, a definição de função diferenciável pode ser expressa, usando as propriedades dos limites, da seguinte maneira: f (z0 + ∆z) − f (z0 ) f (z0 + ∆z) − f (z0 )

= f ′ (z0 ) ⇔

= f ′ (z0 ) + α(∆z),

∆z→0

∆z

∆z lim

onde α(∆z) → 0, isto é, α(∆z) é uma função infinitésima em relação a ∆z; daqui

∆z→0

conseguimos mais uma forma equivalente da definição de função diferenciável no ponto z0 :

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Medium 9788577802753

13. Ondas Luminosas

Hewitt, Paul Grupo A - Bookman PDF

C A P Í T U L O 13

Ondas Luminosas

13.1 O espectro eletromagnético

13.4 Por que o céu

é azul, o pôr-do-sol é vermelho e as nuvens são brancas

13.2 Materiais transparentes e opacos

13.5 Difração

13.3 Cor

13.6 Interferência luminosa

Jennie McKelvie, da Nova Zelândia, mostrando que um tanque de ondas funciona muito bem.

A

luz é a única coisa que nós realmente vemos.

Mas o que é a luz? Sabemos que durante o dia a fonte principal de luz é o Sol, e a secundária, o brilho do céu. Outras fontes de luz comuns são os filamentos incandescentes brancos das lâmpadas, o gás que brilha em tubos de vidro e as chamas. A luz se origina dos movimentos acelerados dos elétrons. Ela é um fenômeno eletromagnético e constitui apenas uma minúscula parte de um todo maior – a larga faixa das ondas eletromagnéticas chamada de espectro eletromagnético.

Começaremos nosso estudo da luz investigando suas propriedades eletromagnéticas, como ela interage com os diversos materiais e qual a sua aparência – a cor. Nós comprovaremos a natureza ondulatória da luz pela maneira como ela se difrata e interfere.

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Medium 9788521632481

13 - Processos Estocásticos

YATES, Roy D.; GOODMAN, David J. Grupo Gen PDF

13

Processos Estocásticos

Nosso estudo de probabilidade refere-se a um experimento consistindo em um procedimento e observações. Quando estudamos variáveis aleatórias, cada observação corresponde a um ou mais números.

Quando estudamos processos estocásticos, cada observação corresponde a uma função de tempo. A palavra estocástico significa aleatório. A palavra processo, neste contexto, significa função de tempo.

Portanto, quando estudamos processos estocásticos, estudamos funções aleatórias de tempo. Quase todas as aplicações práticas da probabilidade envolvem várias observações tomadas por um período de tempo. Por exemplo, nossa discussão anterior sobre probabilidade neste livro refere-se à noção da frequência relativa de um resultado quando um experimento é realizado um grande número de vezes. Nessa discussão e na análise subsequente de variáveis aleatórias, nos preocupamos apenas com a frequência com que um evento ocorre. Quando estudamos processos estocásticos, também prestamos atenção à sequência de tempo dos eventos.

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