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Medium 9788521622468

8 - Teorema de Green

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz Grupo Gen PDF

8

TEOREMA DE GREEN

8.1. TEOREMA DE GREEN PARA RETÂNGULOS

Teorema de Green (para retângulos). Seja K o retângulo

{(x, y) ʦ ޒ2 | a р x р b, c р y р d} e seja ␥ a fronteira de B orientada no sentido antihorário. Suponhamos que P (x, y) e Q (x, y) sejam de classe C1 num aberto ⍀ contendo K. Então

∫␥

P dx ϩ Q dy ϭ

∫∫K

⎡ ѨQ Ѩ P ⎤

⎢ Ѩ x Ϫ Ѩ y ⎥ dx dy.

Demonstração

Vamos provar que

∫␥

008-guii-Vol3

187

P ( x, y) dx ϭ Ϫ

∫∫K

ѨP

( x, y) dx dy

Ѩy

06.08.13, 16:24

188

Um Curso de Cálculo — Vol. 3

e

∫␥ Q ( x, y) dy ϭ ∫∫

ѨQ

( x, y) dx dy.

Ѩx

Temos:

∫␥

P ( x, y) dx ϭ

b

b

∫a P (t, c) dt Ϫ ∫a P (t, d ) dt.

Por outro lado,

∫∫K

ѨP

( x, y) dx dy ϭ

Ѩy

b

d

∫a ∫c

ѨP

( x, y) dy ⎥ dx ϭ

Ѩy

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Medium 9788577805013

34. Indução Eletromagnética

Knight, Randall Grupo A - Bookman PDF

Indução Eletromagnética

34

A indução eletromagnética é o princípio científico em que se baseiam muitas aplicações tecnológicas modernas, desde o gerador de eletricidade às comunicações e ao armazenamento de dados.

᭤ Olhando adiante

O objetivo do Capítulo 34 é compreender e aplicar a indução eletromagnética. Neste capítulo, você aprenderá a:

O que os cata-ventos, os detectores de metal, os gravadores de vídeo, os discos

rígidos de computador e os telefones celulares têm em comum? Surpreendentemente, todas essas diferentes tecnologias provêm de um único princípio científico: a indução eletromagnética. A indução eletromagnética é o processo de geração de uma corrente elétrica por meio da variação do campo magnético que atravessa um circuito.

As muitas aplicações da indução eletromagnética fazem dela um importante tópico de estudo. Mais fundamentalmente, a indução eletromagnética estabelece um vínculo importante entre a eletricidade e o magnetismo, uma ligação com implicações importantes para a compreensão da luz como onda eletromagnética.

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Medium 9788521627982

Capítulo 3 - Continuidade e Limite de Forma Intuitiva

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz Grupo Gen PDF

CAPÍTULO 3

CONTINUIDADE E LIMITE DE FORMA INTUITIVA

CONTINUIDADE E LIMITE DE FORMA INTUITIVA

3.1 IDÉIA INTUITIVA DE FUNÇÃO CONTÍNUA

Um dos conceitos fundamentais da Matemática é o conceito de função contínua. A maioria dos teoremas que aparecerão neste texto envolverá o conceito de função contínua. Bem, mas o que é uma função contínua? Intuitivamente, uma função é contínua em um ponto x ϭ p, com p pertencente ao domínio da função, se o seu gráfico não apresentar salto (na vertical) em x ϭ p. Consideremos, por exemplo, as funções

Ï3 se x Ͼ 1

f(x) ϭ x2 e g(x) ϭ Ì1 se x Յ 1

Ó cujos gráficos são, respectivamente,

Fig. 3.1

Fig. 3.2

O gráfico de f(x) ϭ x2 não apresenta salto em nenhum ponto: f(x) ϭ x2 é uma função contínua em todo ponto x ϭ p do seu domínio. Por outro lado, o gráfico de g(x) apresenta salto em x ϭ 1: a função g(x) não é contínua em x ϭ 1. Observe que o gráfico de g(x) somente apresenta salto em x ϭ 1, o que significa que nos demais pontos g(x) é contínua.

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Medium 9788521633099

6 - Propriedades de uma Distribuição

MATTOS, Viviane Leite Dias de; AZAMBUJA, Ana Maria Volkmer de; KONRATH, Andréa Cristina Grupo Gen PDF

6

PROPRIEDADES DE UMA DISTRIBUIÇÃO

6.1 Introdução

A maior parte das diversas técnicas utilizadas em análises estatísticas faz suposições sobre algumas propriedades da distribuição das observações, razão pela qual devem ser investigadas. Por exemplo, ao representar um conjunto de observações por medidas descritivas, deve-se optar entre a utilização de medidas clássicas ou medidas fundamentadas em sua ordenação. As medidas clássicas (média, variância e desvio padrão), normalmente, são escolhidas por apresentarem boas propriedades algébricas, além de ampla utilização na inferência estatística. Entretanto, não são indicadas quando a distribuição das observações apresenta, por exemplo, uma assimetria acentuada.

Existem diversas propriedades importantes. Neste capítulo, são apresentadas algumas técnicas para avaliar a assimetria e a curtose de um conjunto de observações, além de outras para a identificação de valor fora do padrão ou outlier.

6.2 Momentos

Momentos são medidas que servem para caracterizar um conjunto de observações, sendo muito úteis no estudo de algumas de suas propriedades.

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Medium 9788521625469

Glossário para Álgebra Linear

KOLMAN, Bernard; HILL, David Ross Grupo Gen PDF

GLOSSÁRIO PARA ÁLGEBRA

LINEAR

Adição de matrizes: Para as matrizes A ϭ [aij] e B ϭ [bij] m ϫ n, a adição de A e B é realizada pela adição dos elementos correspondentes; isto é, A ϩ B ϭ [aij] ϩ [bij]. Isto é chamado também de soma das matrizes A e B.

Adição de vetores: A soma de dois vetores é chamada de adição de vetores. Em Rn, a adição de componentes correspondentes dos vetores realiza a adição de vetores.

Adjunta: Para uma matriz A ϭ [aij] n ϫ n, a adjunta de A, representada por adj A é a transposta da matriz formada pela substituição de cada elemento por seu cofator Aij; isto é, adj A ϭ [Aij].

Ângulo entre vetores: Para vetores não-nulos u e v em Rn, o ângulo

␪ entre u e v é determinado pela expressão

Auto-espaço: O conjunto de todos os autovetores de uma matriz quadrada A associada a um autovalor ␭ específico, junto com o vetor nulo, é chamado de auto-espaço associado ao autovalor ␭.

Autovalor: Um autovalor de uma matriz A n ϫ n é um escalar ␭ para o qual existe um vetor de dimensão n não-nulo x tal que Ax ϭ ␭x. O vetor x é um autovetor associado ao autovalor ␭.

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Medium 9788563308047

Química dos Compostos de Coordenação

Chang, Raymond Grupo A - AMGH PDF

Química dos Compostos de

Coordenação

20.1 Propriedades dos Metais de Transição 663

Configurações Eletrônicas • Estados de Oxidação

20.2 Compostos de Coordenação 666

Número de Oxidação dos Metais em Compostos de Coordenação •

Nomenclatura dos Compostos de Coordenação

20.3 Geometria dos Compostos de Coordenação 670

Número de Coordenação ϭ 2 • Número de Coordenação ϭ 4 • Número de

Coordenação ϭ 6

20.4 Ligações nos Compostos de Coordenação:

Teoria do Campo Cristalino 672

Desdobramento do Campo Cristalino em Complexos Octaédricos • Cor •

Propriedades Magnéticas • Complexos Tetraédricos e Quadrados Planares

20.5 Reações dos Compostos de Coordenação 679

20.6 Compostos de Coordenação nos Organismos Vivos 679

Hemoglobina e Compostos Relacionados • Cisplatina

Conceitos Essenciais

A cisplatina impede a replicação e transcrição do DNA por meio da ligação com a dupla hélice. A estrutura desse aduto com DNA

(acima) foi elucidada pelo grupo do professor Stephen Lippard no

Massachusetts Institute of

Technology (MIT), EUA.

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Medium 9788521628859

Capítulo 5 - Variáveis Aleatórias Discretas e Suas Distribuições de Probabilidades

MANN, Prem S. Grupo Gen PDF

5

©Michael Holahan/The Augusta Chronicle/Alamy Limited

© Michael Holahan/The Augusta Chronicle/Alamy Limited

CAPÍTULO

Variáveis Aleatórias Discretas e Suas

Distribuições de Probabilidades

Agora que sabe um pouco sobre probabilidade, você se considera uma pessoa de sorte suficiente para jogar a loteria? Caso disponha de $20 para gastar hoje no almoço, você estaria disposto a gastar todo esse dinheiro em 4 bilhetes de loteria de $5 a fim de aumentar suas chances de vencer? Você acredita que lucrará, em média, se continuar a comprar bilhetes de loteria ao longo do tempo? Os jogadores de loteria conseguem, em média, ganhar mais que o Estado? Sem chance. (Veja o Estudo de Caso 5-1 para respostas.)

5.1 Variáveis Aleatórias

O Capítulo 4 discutiu sobre os conceitos e regras da probabilidade. Este capítulo estende o conceito de probabilidade, para explicar distribuições de probabilidades. Como vimos no Capítulo 4, qualquer experimento estatístico específico tem mais do que um único resultado. É impossível prever qual dentre os muitos resultados possíveis irá ocorrer caso um determinado experimento seja realizado.

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Medium 9788580550467

3 Corpos rígidos: sistemas equivalentes de forças

Beer, Ferdinand Grupo A - AMGH PDF

76

3

Mecânica vetorial para engenheiros: estática

Corpos rígidos: sistemas equivalentes de forças

3.1 Introdução

3.2 Forças externas e forças internas

3.3 Princípio da transmissibilidade e forças equivalentes

3.4 Produto vetorial de dois vetores

3.5 Produtos vetoriais expressos em termos de componentes retangulares

3.6 Momento de uma força em relação a um ponto

3.7 Teorema de Varignon

3.8 Componentes retangulares do momento de uma força

3.9 Produto escalar de dois vetores

3.10 Produto triplo misto de três vetores

3.11 Momento de uma força em relação a um dado eixo

3.12 Momento de um binário

3.13 Binários equivalentes

3.14 Adição de binários

3.15 Binários podem ser representados por vetores

3.16 Substituição de uma dada força por uma força em o e um binário

3.17 Redução de um sistema de forças a uma força e um binário

3.18 Sistemas equivalentes de forças

3.19 Sistemas equipolentes de vetores

3.20 Casos particulares de redução de um sistema de forças

3.21 Redução de um sistema de forças a um torsor

᭿

3.1

Introdução

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Medium 9788521632481

5 - Variáveis Aleatórias Múltiplas

YATES, Roy D.; GOODMAN, David J. Grupo Gen PDF

5

Variáveis Aleatórias Múltiplas

Os Capítulos 3 e 4 analisam experimentos nos quais o resultado é um número. Começando neste capítulo, analisaremos experimentos cujo resultado é uma coleção de números. Cada número é um valor amostral de uma variável aleatória. O modelo de probabilidade para tal experimento contém as propriedades das variáveis aleatórias individuais e também a relação entre elas. Os Capítulos 3 e

4 consideram diferentes assuntos, um as variáveis aleatórias discretas e o outro as varáveis aleatórias contínuas. Neste capítulo serão consideradas todas as variáveis aleatórias, pois uma alta proporção de definições e teoremas se aplicam a variáveis aleatórias discretas e contínuas. Porém, assim como com as variáveis aleatórias individuais, os detalhes dos cálculos numéricos dependem das variáveis aleatórias serem discretas ou contínuas. Consequentemente, descobrimos que muitas fórmulas vêm em pares. Uma fórmula, para variáveis aleatórias discretas, contém somas e a outra fórmula, para variáveis aleatórias contínuas, contém integrais.

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Medium 9788577801831

29 Algumas Equações Diferenciais Clássicas

Bronson, Richard Grupo A - Bookman PDF

Capítulo 29

Algumas Equações

Diferenciais Clássicas

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS CLÁSSICAS

Ao longo dos anos, determinadas equações diferenciais têm sido estudadas, tanto por causa da beleza estética de suas soluções, como também por proporcionarem diversas aplicações físicas, sendo assim, consideradas clássicas.

Já vimos um exemplo desse tipo de equação, a equação de Legendre, no Problema 27.13.

Iremos abordar quatro equações clássicas: a equação diferencial de Chebyshev, nomeada em homenagem a Pafnuty Chebyshev (1821 – 1894); a equação diferencial de Hermite, assim denominada por causa de Charles

Hermite (1822 – 1901); a equação diferencial de Laguerre, nomeada depois de Edmond Laguerre (1834 – 1886); e a equação diferencial de Legendre, assim designada por causa de Adrien Legendre (1752 – 1833). Essas equações são apresentadas na Tabela 29-1 a seguir:

Tabela 29-1

(Note: n = 0, 1, 2, 3,...)

Equação Diferencial de Chebyshev

Equação Diferencial de Hermite

Equação Diferencial de Laguerre

Equação Diferencial de Legendre

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Medium 9788563308214

Capítulo 10. Escoamento em canais abertos

White, Frank M. Grupo A - AMGH PDF

Capítulo 10

Escoamento em canais abertos

Motivação.  Um escoamento em canal aberto representa um escoamento com uma superfície livre em contato com a atmosfera, como ocorre em um rio, um canal ou uma calha. Os escoamentos em dutos fechados (Capítulo 6) são completamente cheios de fluido, podendo ser líquido ou gás, não apresentam uma superfície livre e são conduzidos por um gradiente de pressão ao longo do eixo do duto. Os escoamentos em canais abertos aqui são conduzidos apenas pela gravidade, e o gradiente de pressão na interface com a atmosfera é desprezível. O balanço de forças básico em um canal aberto é entre a gravidade e o atrito.

Os escoamentos em canais abertos constituem uma modalidade da mecânica dos fluidos especialmente importante para os engenheiros civis e ambientais. Eles precisam prever as vazões e profundidades de água que resultam de determinada geometria de canal, seja ela natural ou artificial, e de determinada rugosidade da superfície molhada. Quase sempre o fluido em destaque é a água, e o tamanho do canal usualmente é grande. Portanto, os escoamentos em canais abertos são geralmente turbulentos, tridimensionais, às vezes não permanentes e com frequência muito complexos. Este capítulo apresenta algumas teorias de engenharia simples e correlações experimentais para escoamento permanente em canais retos, com geometria regular. Podemos tomar emprestado e usar alguns conceitos da análise de escoamento em dutos: raio hidráulico, fator de atrito e perdas de carga.

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Medium 9788521614746

Capítulo 18 - Processos Estocásticos e Filas

HINES, William W.; MONTGOMERY, Douglas C.; GOLDSMAN, Dave; BORROR, Connie M. Grupo Gen PDF

Capítulo

18

Processos Estocásticos e Filas

18-1 INTRODUÇÃO

O termo processo estocástico é freqüentemente usado em relação a observações de um processo físico, orientado no tempo, que é controlado por um mecanismo aleatório. Mais precisamente, um processo estocástico é uma seqüência de variáveis aleatórias {X t}, onde t ෈ T é um índice de tempo ou de seqüência. O espaço imagem de Xt pode ser discreto ou contínuo; no entanto, neste capítulo consideraremos apenas o caso em que, em um instante particular t, o processo se encontra em um de m ϩ 1 estados mutuamente exclusivos e exaustivos. Os estados são rotulados como 0, 1, 2, 3, ..., m.

As variáveis X1, X2,… podem representar o número de clientes que esperam pelo serviço em uma bilheteria nos instantes 1 minuto, 2 minutos e assim por diante, após a abertura da bilheteria. Outro exemplo seria a demanda diária por certo produto em dias sucessivos. X0 representa o estado inicial do processo.

Este capítulo introduzirá um tipo especial de processo estocástico, chamado de processo de Markov.

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Medium 9788577801831

14 Aplicações das Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem

Bronson, Richard Grupo A - Bookman PDF

CAPÍTULO 14 • APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM

129

Lei de Hooke: A força F de uma mola é igual e oposta às forças aplicadas a essa mola e é proporcional à distenção (contração) l da mola resultante da força aplicada; ou seja F = – kl, onde k representa uma constante de proporcionalidade, geralmente denominada constante da mola.

Exemplo 14.1 Uma bola de aço de 570 N de peso está suspensa por uma mola, causando nesta uma distensão de 0,6 m em relação ao seu comprimento original. A força aplicada responsável pelo deslocamento (distensão) de 0,6 m é o peso da bola, 570 N. Assim, F = – 570 N. Então, pela lei de Hooke, –570 = – k(0,6) ou k = 950 N/m.

Por questão de conveniência, escolhemos a direção “para baixo” como sendo a direção positiva e adotamos como origem o centro da massa na posição de equilíbrio. Assumimos que a massa da mola possa ser desprezada e que a resistência do ar, quando presente, seja proporcional à velocidade da massa. Assim, para qualquer instante de tempo t, existem três forças atuando sobre o sistema: (1) F(t), medida na direção positiva; (2) uma força restauradora dada segundo a lei de Hooke como Fs = –kx, k > 0; e (3) uma força devido à resistência do ar dada por

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Medium 9788521633136

8 - Principais Variáveis Aleatórias Contínuas

CAMPOS, Marcilia Andrade; RÊGO, Leandro Chaves; MENDONÇA, André Feitoza de Grupo Gen PDF

8

Principais Variáveis

Aleatórias Contínuas

Neste capítulo, serão exploradas as principais variáveis aleatórias contínuas. A distribuição Normal tanto

é aplicada em problemas práticos quanto teóricos, sendo básica para o desenvolvimento de outras variá­ veis aleatórias. As distribuições Exponencial, Log-Normal e Weibull são fundamentais em modelagem de desempenho de sistemas e confiabilidade. Distribuições como a t-Student, c2 e F são úteis no cálculo de intervalos de confiança e em teste de hipóteses. A distribuição de Pareto aplica-se em fenômenos que apresentam grande variabilidade nas observações, o que implica o aumento da variância.

8.1 Uniforme de parâmetros a e b: U(a,b)

��

(i) Densidade.

  Figura 8.1    Densidade de probabilidade de uma Uniforme, (a,b).

(ii) Esperança.

(iii) Variância.

Campos MA - 08.indd 175

18/10/2016 11:06:07

176

Capítulo 8

(iv) Função de distribuição acumulada.

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Medium 9788577804825

3. Lugares Geométricos

Santos, Fabiano José dos Grupo A - Bookman PDF

3 Lugares

Geométricos

3.1 Lugar geométrico

Um lugar geométrico é um conjunto de pontos que satisfaz uma ou mais propriedades geométricas. Conceitualmente, a geometria analítica lida com o estudo de lugares geométricos (pontos, retas, circunferências, parábolas, regiões etc.) por meio de suas representações algébricas (pares ordenados, equações, sistemas de equações etc.). Segundo Kindle (1959), fundamentalmente ela lida com dois tipos de problemas:

(i) dada uma representação algébrica, determinar o lugar geométrico correspondente;

(ii) dado um lugar geométrico, cujos pontos satisfazem certas condições, determinar sua representação algébrica.

Nesse momento abordaremos o segundo problema: determinar a representação algébrica de um lugar geométrico que satisfaz certas condições estabelecidas. Nossas principais ferramentas serão as fórmulas da distância entre dois pontos, Equação 1.1 (p. 34), e da distância de um ponto a uma reta, Equação

2.9 (p. 48).

Exemplo 3.1 Determine a equação do lugar geométrico dos pontos equidistantes dos pontos A(3, 0) e B(0, 3).

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